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1.如何理解函数极限的定义？

　　数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

扩展资料
解决问题的极限思想：
“极限思想”方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。
数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。
人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。
参考资料来源：搜狗百科-极限

2.如何理解极限定义

　　可定义某一个数列{xn}的收敛：
设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都

 ，使不等式 

 在 

 上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。记作 

 或 

 。
如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得

 ，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。 
对定义的理解：
1、ε的任意性 定义中ε的作用在于衡量数列通项 

 与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；
又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。
2、N的相应性 一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使 

 成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使 

 成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式 

 成立”意味着：所有下标大于N的 

都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某

 ，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
注意几何意义中：
1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；2、所有其他的点

 （无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

扩展资料：
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
参考资料：搜狗百科-极限

3.极限是个什么概念？

　　还没有上的高3的同学们要知道啊，极限就是人所能达到的（包括身体，心里上）界限，有点玄的感觉。极限？老实说人应该是没有极限的吧，因为世界上么有绝对的事情，人的浅能是要自己开发出来的，还有要别人来开导，人也是很脆弱的，有的人超过自身的极限，脆弱的时候就要去做消极的事情，但是人也是最神奇的动物，你看人不能飞翔，但是他能做出飞翔的东西，可见人的极限是无可限量的．那就要靠自己了
　　
　　   上了高3的要明白极限在高考中的地位！极限理论  [英] the theory of limit  读理工和经济的人都知道，从初等数学到高等数学的第一个坎就是微积分的极限理论。对极限理论的理解和处理是专业学数学和其他科系学数学的分水岭之一，这就是微积分教学中臭名昭著的数列极限ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论（epsilon——δ，函数极限为epsilon——Delta理论）。这个ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Delta）理论诲涩难懂，令一拨刚从初等数学跳到高等数学的学生焦头烂额。包括数学系的学生，一些人到了毕业，还对为什么要用如此抽象的ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Delta）理论极限来描述微积分的极限理论的不甚了了。以数列f（n）的极限为L为例，ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论是这么表述的：对一个任意给定的实数ε＞0（epsilon），存在一个相应的正整数N，当n＞N时，｜f（n）－L｜＜ε 成立。我们就认为L是f（n）的极限。

4.如何理解“极限”的定义

　　问得好！
我们教高数的教师，十有八九都是一样的德性：
1、自己不求甚解，只会照本宣科，教了一辈子书，糊涂了一辈子，误了一辈子的人！
2、他们自己一知半解，也不允许学生质疑，对学生的质疑，要么反反复复重复同一
句连他自己都不知所云的话，他们只会囫囵吞枣，死背定义。学生如果继续质疑，
他们就100%气急败坏，恼羞成怒，轻则讥笑、挖苦学生；重侧泼口大骂，甚至连
三字经也会骂出口。
他们常用的口头禅有：
1、就是这样子的！
2、还有什么好解释的！没有什么好解释的啦！
3、自己好好看看书！
4、别钻牛角尖！
5、自己多想想，要多问几个为什么？
6、你有强迫症？哪来这么多为什么？
下面回答本题问题。
总体来说：
极限的证明过程，就是一个吵架的过程；
就是一个理性争辩、逻辑辩论的过程；
就是一个穷举法的精简过程。
1、我说：xn的极限就是a，你不信。
2、你说：xn与a有差值啊。
3、我说：你给以很小的数吧。
你给出一个很小很小的数，譬如0.0000123。
我计算了一下，我说当n大于100时(比方)，两者之差就小于0.0000123了。
你不服，又给出一个更小的数，譬如0.0000000000456。
我又计算了一下，我说当n大于1000时(也是比方)，两者之差就小于0.0000000000456了。
你又给，我又算，你再给，我再算，、、、、、、
我说，算了吧，你给一个象征性的很小的数，我算一个公式给你，你自己计算吧。
你给的这个数就是ε，我就给你一个公式，算出了n，从n后面起，差值就小于ε。
说到这里，你明白极限证明的论证过程了吗？
如果明白了，那就恭喜你！你已经掌握极限证明的真谛了！可喜可贺！
如果不明白，那也恭喜你！你终于体察出我们落后的原因！可喜可贺！
我们祖先，不落后人，他们也有悖论，也有极限思维。
我们后人，没有超越，我们没有开拓，没有极限理论，更没有微积分，更没有、、、、。

5.极限的定义的理解？

　　设|Xn|为一无穷数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，
 |Xn - a|<ε
 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记为
 lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
 极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
 1.极限思想的产生与发展
 （1）极限思想的由来.
 与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
 到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
 （2）极限思想的发展
 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。
 这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
 正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
 贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
 （3）极限思想的完善
 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
 到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。
 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f（x）的导数定义为差商Δy/Δx的极限f′（x），他强调指出f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
 到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
 柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
 柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
 为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 an=A，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an－A|<ε恒成立”。
 这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
 众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。
 2.极限思想的思维功能
 极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。
 无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。
 “变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。
 曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。
 量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。
 近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。
 3．建立概念的极限思想
 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
 （1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量 时，函数值的增量 趋于零的极限。
 （2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
 （3）函数 在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。
 （4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
 （5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。
 4．解决问题的极限思想
 极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
 有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。

6.数列极限的概念是怎么理解

　　“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。
　　逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
　　极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
　　求极限的方法：
　　1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。
　　2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法。
　　3、运用两个特别极限。
　　4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

以上就是关于「如何理解极限的概念」的全部内容，本文讲解到这里啦，希望对大家有所帮助。如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站~

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